GCE Maths

Συχνά η πορεία προς τις εξετάσεις αντιμετωπίζεται, από μαθητές και καθηγητές, ως μία διαδικασία κατά την οποία ο μαθητής "αρκεί να λύσει περισσότερες ασκήσεις απ'ό,τι συνήθως". Η επίτευξη αυτού του στόχου όμως, δεν αρκεί για να οδηγήσει τον υποψήφιο στην επιτυχία. Κι αυτό γιατί η παράμετρος "πλήθος ασκήσεων", αν και εύκολα μετρήσιμη, δεν καλύπτει από μόνη της τις απαιτήσεις μιας διαδικασίας, λίγο πιο σύνθετης από όσο νομίζουμε.

Η άποψή μας είναι ότι, για μια σωστή και ολοκληρωμένη προετοιμασία, καθηγητής και μαθητής πρέπει να εργαστούν ώστε να επιτευχθούν τρεις στόχοι:

• πλήρης κάλυψη της θεωρίας
• επίλυση, όσο το δυνατόν, περισσότερων ασκήσεων
• ο μαθητής να μάθει να αντιμετωπίζει σωστά τα διαγωνίσματα.

Είναι σημαντικό το τρίπτυχο αυτό να προωθηθεί παράλληλα από τον καθηγητή, ώστε να υπάρξει ο απαραίτητος χρόνος για σταδιακή εξοικείωση του μαθητή με τους στόχους αυτούς, καθώς θα προχωράει από τα πιο απλά στα πιο σύνθετα και απαιτητικά κομμάτια της ύλης. Ποια είναι όμως η πρακτική αξία κάθε ενός από τους τρεις εκπαιδευτικούς στόχους;

Η κατανόηση της θεωρίας, με χρήση παραδειγμάτων και αντιπαραδειγμάτων, καθώς και με επίλυση απλών εφαρμογών, βοηθάει στην αφομοίωση της γνώσης, την αποσαφήνιση σκοτεινών σημείων και δύσκολων εννοιών και την εξοικείωση του μαθητή με τα θεωρήματα, τα "εργαλεία" που θα χρησιμοποιήσει αργότερα, για να λύσει πιο σύνθετες και απαιτητικές ασκήσεις.

Από τη στιγμή που ο μαθητής έχει κατανοήσει τη θεωρία ενός κεφαλαίου και μπορεί να λύνει με ευκολία απλές εφαρμογές, μπορεί να προχωρήσει στην επίλυση πιο δύσκολων ασκήσεων. Γενικά η δυσκολία των ασκήσεων, πέρα από το τεχνικό μέρος -ανάγκη για χρήση προσθαφαίρεσης, μετασχηματισμό της εξίσωσης, εις άτοπον απαγωγή κ.ο.κ.- που ο μαθητής πρέπει να κατέχει, ήδη από τη Β'’ Λυκείου, έγκειται σε δύο βασικούς παράγοντες που διακρίνουν τις δύσκολες ασκήσεις από τις απλές εφαρμογές. Ο πρώτος είναι η χρήση εκφωνήσεων που "καμουφλάρουν" το κομμάτι της ύλης στο οποίο αναφέρεται η άσκηση. Έτσι ο μαθητής δυσκολεύεται να διακρίνει ποια θεωρήματα πρέπει να χρησιμοποιήσει ως "εργαλεία" για τη λύση της. Δεύτερος παράγοντας δυσκολίας είναι το ενδεχόμενο η άσκηση να μην αφορά γνώσεις ενός κεφαλαίου, αλλά συνδυασμό περισσότερων κεφαλαίων. Αυτά τα δύο στοιχεία πρέπει να τα έχει υπόψη του ο μαθητής πριν ξεκινήσει να λύνει ασκήσεις "με το τσουβάλι". Σίγουρα η ποσότητα παίζει ρόλο (practice makes perfect), αλλά πρέπει να δίνεται σημασία και στην ποιότητα των ασκήσεων, βάσει των κριτηρίων που αναφέραμε παραπάνω. Τέλος, μία μέθοδος που θα βοηθήσει τον μαθητή να θυμάται τις ασκήσεις που λύνει, ώστε να μπορεί να της ανακαλέσει στη μνήμη του πιο εύκολα κατά τη διάρκεια της εξέτασης, είναι να προσπαθήσει να κατηγοριοποιήσει τις ασκήσεις αυτές, αναζητώντας ομοιότητες και διαφορές στις εκφωνήσεις και στον τρόπο επίλυσης. Αυτό είναι και το κριτήριο για το πόσο καλή δουλειά έχει γίνει. Στο τέλος κάθε κεφαλαίου, ο μαθητής πρέπει να μπορεί να κατατάξει τις ασκήσεις σε κατηγορίες και υποκατηγορίες και να αντιστοιχίζει ένα παράδειγμα σε κάθε κατηγορία.

Το να μάθει ο μαθητής να αντιμετωπίζει σωστά τα διαγωνίσματα, είναι ο στόχος που είθισται να παραβλέπεται συχνότερα. Κάθε φορά που ο μαθητής, κατά τη διάρκεια της προετοιμασίας του, γράφει κάποιο διαγώνισμα ή λύνει ένα πακέτο ασκήσεων, οφείλει να το αντιμετωπίζει όντας απολύτως συγκεντρωμένος και όχι βιαστικά και επιπόλαια. Η συνήθης δικαιολογία: "τώρα βιάζομαι γιατί έχω κι άλλα μαθήματα / ασκήσεις, αλλά στις εξετάσεις θα είμαι συγκεντρωμένος" δεν ευσταθεί. Η πνευματική πειθαρχία είναι εξαιρετικά δύσκολη υπόθεση και το μυαλό συμπεριφέρεται πάντα όπως το έχουμε εκπαιδεύσει. Αν προσθέσουμε και ένα δικαιολογημένο βαθμό άγχους -λόγω της εξεταστικής διαδικασίας- είναι απίθανο να αποδώσει την κρίσιμη στιγμή το μέγιστο των δυνατοτήτων του, αν προηγουμένως δεν το έχουμε προσεκτικά προετοιμάσει. Τα παραδείγματα είναι πολλά. Από απλά λάθη σε πράξεις και βεβιασμένες, ανολοκλήρωτες αποδείξεις ασκήσεων, μέχρι παράλειψη ολόκληρων υποερωτημάτων, είναι όλα αποτέλεσματα ελλιπούς συγκέντρωσης. Ούτε ο έλεγχος του γραπτού στο τέλος -αν και απαραίτητος- αντισταθμίζει την έλλειψη συγκέντρωσης, καθώς η εμπειρία δείχνει ότι, τις περισσότερες φορές, το μυαλό υπό καθεστώς πίεσης τείνει να επαναλαμβάνει τα αρχικά λάθη.

Ένας άλλος παράγοντας είναι η συνετή χρήση του πρόχειρου. Πολλοί μαθητές αποφεύγουν να το χρησιμοποιούν με τη δικαιολογία ότι δεν προλαβαίνουν. Καταλήγουν έτσι να παραδίδουν γραπτά, γεμάτα μουτζούρες και διαγραφές -ακόμα και ολόκληρων ασκήσεων- με συνεχείς εναλλαγές ανάμεσα στα υποερωτήματα διαφορετικών θεμάτων, που δίνουν μια εικόνα ελλιπούς συνοχής, γεγονός το οποίο κουράζει τον διορθωτή και δημιουργεί την εντύπωση ότι ο μαθητής δεν έχει εμπιστοσύνη στις γνώσεις του. Από την άλλη, κάποιοι μαθητές κάνουν το ακριβώς αντίθετο. Ξεκινούν και λύνουν -πλήρως- όλα τα θέματα στο πρόχειρο, διατρέχοντας έτσι τον κίνδυνο, λόγω έλλειψης χρόνου, να μην προλάβουν να μεταφέρουν στο καθαρό ασκήσεις που έχουν κατορθώσει να λύσουν, καθώς θα πρέπει να γράψουν την ίδια ποσότητα κειμένου δύο φορές ή, ακόμα και αν υπάρχει αρκετός χρόνος, να κινδυνεύουν να παραλείψουν, μέσα στη βιασύνη τους, να μεταφέρουν κάποια άσκηση. Η σωστή διαδικασία είναι πολύ πιο απλή. Ο μαθητής ξεκινάει να λύνει κάθε άσκηση στο πρόχειρο. Μόλις φτάσει στο σημείο εκείνο, όπου πλέον είναι σίγουρος για τη λύση, αρχίζει να τη λύνει στο καθαρό. Ένα-ένα ερώτημα, νοικοκυρεμένα και τακτοποιημένα! Έτσι δεν κινδυνεύει ούτε από έλλειψη χρόνου, ούτε και να γεμίσει το γραπτό μουτζούρες επειδή θα συνειδητοποιήσει ότι έχει πάρει λάθος δρόμο, όταν θα έχει πια φτάσει στη μέση της άσκησης.

Ας ξεκινήσουμε με μια παραδοχή. Η αλήθεια είναι ότι πίσω από αυτό που αποκαλούμε "ατυχία" σε μια εξεταστική διαδικασία, κρύβονται τομείς στους οποίους η προετοιμασία που προηγήθηκε ήταν ελλιπής. Από την κατανόηση της ύλης και την εκμάθηση τεχνικών επίλυσης ασκήσεων, μέχρι την εκπαίδευση πάνω στην αντιμετώπιση ενός διαγωνίσματος ο υποψήφιος, αν δεν επιδείξει προσοχή, επιμονή και διαρκή προσπάθεια για βελτίωση καθ’όλη τη διάρκεια της προετοιμασίας, έχει πολλές πιθανότητες να παραβλέψει κάτι το οποίο μπορεί μετά να εμφανιστεί ως "ατυχία". Υπάρχουν όμως τρόποι να μειώσουμε αυτή την πιθανότητα, θωρακίζοντας έτσι την προσπάθεια του μαθητή που είναι διατεθειμένος να εργαστεί σοβαρά στους παραπάνω τομείς;

Δύο είναι οι βασικοί παράγοντες στους οποίους ο καθηγητής πρέπει να δώσει έμφαση, κατά την προετοιμασία του υποψηφίου, προκειμένου να περιορίσει το ενδεχόμενο κάποιας ατυχίας:

• Να δείξει στο μαθητή ότι δεν πρέπει να αντιμετωπίσει την ύλη σαν άθροισμα ξεχωριστών κεφαλαίων, αλλά ως ένα ενιαίο σύνολο γνώσεων.
• Να φροντίσει για την έγκαιρη ολοκλήρωση της ύλης.

Αν και συνηθίζουμε να παραδεχόμαστε πως για να προχωρήσει κάποιος στα μαθηματικά χρειάζεται να έχει "βάσεις", δηλαδή προαπαιτούμενες γνώσεις δίχως τις οποίες δεν μπορεί να κατανοήσει τα επόμενα κεφάλαια της ύλης, αυτή η αντίληψη φαίνεται να ατονεί κατά τις τάξεις του λυκείου. Σε αυτή την κατεύθυνση συντείνουν, εν μέρει η διάρθρωση της ύλης, αλλά κυρίως μια εκπαιδευτική διαδικασία προσανατολισμένη να παρέχει γνώσεις στο μαθητή, δίχως όμως να δίνει έμφαση στον τρόπο με τον οποίο, αυτές οι γνώσεις, συνδέονται.

Η σύνδεση των γνώσεων (πχ μαθαίνουμε ταυτότητες επειδή μας βοηθάνε στην παραγοντοποίηση πολυωνύμων, που τη χρειαζόμαστε για να βρίσκουμε Ε.Κ.Π. πολυωνύμων, που με τη σειρά του χρειάζεται για την επίλυση κλασματικών αλγεβρικών εξισώσεων) καθώς και ο εντοπισμός μέσα στην ύλη εννοιών με παρόμοιες ιδιότητες (πχ διανύσματα και μιγαδικοί αριθμοί) βοηθούν το μαθητή ώστε, πρώτον να θυμάται καλύτερα και ευκολότερα όλη την ύλη έχοντας μια ενιαία εικόνα στο μυαλό του (μπορούμε εύκολα να θυμηθούμε 5 ή 10 διάσπαρτες λέξεις, αλλά αν θέλουμε να θυμηθούμε 50 λέξεις το καλύτερο που έχουμε να κάνουμε είναι να τις εντάξουμε σε μια ιστορία) και δεύτερον τον εμποδίζουν να παρασυρθεί και -υπό την πίεση των εξετάσεων- να γράψει κάτι που δεν ισχύει, καθώς θα υπάρχουν, περισσότερα του ενός, επίπεδα ελέγχου για κάθε μαθηματική ιδιότητα.

Ως προς την διαχείριση του χρόνου κατά την περίοδο της προετοιμασίας, είναι πολύ σημαντικό η ύλη να ολοκληρωθεί ομαλά, εμπεριστατωμένα και κυρίως νωρίς, για να υπάρχει αρκετό περιθώριο ώστε ο μαθητής να αφομοιώσει τις καινούργιες έννοιες, να ανακύψουν τυχόν απορίες και ο καθηγητής να μπορέσει να αντιληφθεί αν υπάρχουν σημεία της ύλης που δεν έχουν γίνει απολύτως κατανοητά. Υπάρχει όμως και ένας άλλος λόγος που συνηγορεί στην έγκαιρη ολοκλήρωση της ύλης και έχει άμεση σχέση με αυτό που οι μαθητές αποκαλούν "ατυχία".

Εύκολα μπορεί να διαπιστώσει κάποιος, από τη δική του μαθητική εμπειρία, ότι οι “ατυχίες” αφορούν συνήθως κεφάλαια που βρίσκονται είτε στην αρχή, είτε στο τέλος της ύλης. Αυτό συμβαίνει γιατί, καθώς ο μαθητής προχωράει στην ύλη, ανακαλεί τα αμέσως προηγούμενα κεφάλαια για να αναζητήσει γνώσεις και δεξιότητες που ίσως χρειάζονται και στη λύση των καινούργιων ασκήσεων. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα, καθώς η προετοιμασία βαίνει προς το τέλος, ο υποψήφιος να φέρνει στο μυαλό του συχνότερα τα κεφάλαια που βρίσκονται στο μέσον της ύλης. Για το λόγο αυτό απαιτείται επαρκής χρόνος για σωστή και ολοκληρωμένη επανάληψη κατά την οποία ο μαθητής θα έχει την ευκαιρία να θυμηθεί τα πρώτα κεφάλαια και να ξαναδιαβάσει περισσότερες φορές τα τελευταία, ισορροπώντας έτσι την κατάσταση. Δυστυχώς, τα περισσότερα μεγάλα φροντιστήρια δεν ολοκληρώνουν νωρίς την ύλη, από φόβο μήπως οι μαθητές τους εγκαταλείψουν το φροντιστήριο, για την υπόλοιπη περίοδο μέχρι τις εξετάσεις και ξεκινήσουν ιδιαίτερα, στερώντας τους έτσι τη δυνατότητα για μια σωστή επανάληψη που θα τους βοηθήσει στην καλύτερη αφομοίωση της ύλης και κατά συνέπεια, σε ένα καλύτερο αποτέλεσμα στις εξετάσεις, που είναι και το ζητούμενο.